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          2014年荊楚理工學院普通專升本高等數學考試大綱

          2020-11-24

          荊楚理工學院專升本考試《高等數學》考試大綱:

          一、課程名稱:高等數學

          二、適用專業:非數學專業

          三、考試方法:閉卷考試

          四、考試時間:90分鐘

          五、試卷結構:總分:100分

          其中選擇題20分,填空題20分,計算題50分,證明題10分。

          六、參考書目:

          1、同濟大學數學系主編,《高等數學》(上、下冊),高等教育出版社,2007年第6版。

          2、李樂成等主編,《高等數學》(上、下冊),華中科技大學出版社,2004年第2版。

          七、考試的基本要求:

          考生應理解《高等數學》中的函數、極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分學和常微分方程的基本概念與基本理論;學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系;應具有一定的抽象思維能力、邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力;有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明和準確地計算的能力;能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

          八、考試范圍

          第一章 函數與極限

          (一)函數(非重點)

          1.考試范圍

          (1)函數的概念:函數的定義、函數的表示法、分段函數

          (2)函數的簡單性質:單調性、奇偶性、有界性、周期性

          (3)反函數:反函數的定義、反函數的圖象

          (4)函數的四則運算與復合運算

          (5)基本初等函數:冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數

          (6)初等函數

          2. 要求

          (1)理解函數的概念,會求函數的定義域、表達式及函數值。會求分段函數的定義域、函數值,并會作出簡單的分段函數圖像。

          (2)理解和掌握函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性,會判斷所給函數的類別。

          (3)了解函數y=?(x)與其反函數y=?-1(x)之間的關系(定義域、值域、圖象),會求單調函數的反函數。

          (4)理解和掌握函數的四則運算與復合運算,熟練掌握復合函數的復合過程。

          (5)掌握基本初等函數的簡單性質及其圖象。

          (6)了解初等函數的概念。

          (7)會建立簡單實際問題的函數關系式。

          (二)極限

          1. 考試范圍

          (1)數列極限的概念:數列 數列極限的定義

          (2)數列極限的性質:唯一性 有界性 四則運算定理 夾逼定理 單調有界數列 極限存在定理

          (3)函數極限的概念

          函數在一點處極限的定義 左、右極限及其與極限的關系 x趨于無窮(x→∞,x→+∞,x→-∞)時函數的極限 函數極限的幾何意義

          (4)函數極限的定理:唯一性定理 夾逼定理 四則運算定理

          (5)無窮小量和無窮大量

          無窮小量與無窮大量的定義 無窮小量與無窮大量的關系 無窮小量與無窮大量的性質 兩個無窮小量階的比較

          (6)兩個重要極限

          2. 要求

          (1)理解極限的概念(對極限定義中“ε- N”、“ε- δ”、“ε- M”的描述不作要求),能根據極限概念分析函數的變化趨勢。會求函數在一點處的左極限與右極限,了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。

          (2)了解極限的有關性質,掌握極限的四則運算法則。

          (3)理解無窮小量、無窮大量的概念,掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等階)。會運用等價無窮小量代換求極限。

          (4)熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

          (三)連續

          1. 考試范圍

          (1)函數連續的概念

          函數在一點連續的定義 左連續和右連續 函數在一點連續的充分必要條件 函數的間斷點及其分類

          (2)函數在一點處連續的性質

          連續函數的四則運算 復合函數的連續性 反函數的連續性

          (3)閉區間上連續函數的性質

          有界性定理 最大值和最小值定理 介值定理(包括零點定理)

          (4)初等函數的連續性

          2. 要求

          (1)理解函數在一點連續與間斷的概念,掌握判斷簡單函數(含分段函數)在一點的連續性,理解函數在一點連續與極限存在的關系。

          (2)會求函數的間斷點及確定其類型。

          (3)掌握在閉區間上連續函數的性質,會運用介值定理推證一些簡單命題。

          (4)理解初等函數在其定義區間上連續,并會利用連續性求極限。

          二、導數與微分

          1. 考試范圍

          (1)導數概念

          導數的定義 左導數與右導數 導數的幾何意義與物理意義 可導與連續的關系

          (2)求導法則與導數的基本公式

          導數的四則運算 反函數的導數 導數的基本公式

          (3)求導方法

          復合函數的求導法 隱函數的求導法 對數求導法 由參數方程確定的函數的求導法 求分段函數的導數

          (4)高階導數的概念:高階導數的定義 高階導數的計算

          (5)微分:微分的定義 微分與導數的關系 微分法則 一階微分形式不變性

          2. 要求

          (1)理解導數的概念及其幾何意義,了解可導性與連續性的關系,會用定義求函數在一點處的導數。

          (2)會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

          (3)熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法,會求反函數的導數。

          (4)掌握隱函數的求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法,會求分段函數的導數。

          (5)理解高階導數的概念,會求簡單函數的n階導數。

          (6)理解函數的微分概念,掌握微分法則,了解可微與可導的關系,會求函數的一階微分。

          第三章 微分中值定理與導數的應用

          1. 考試范圍

          (1)中值定理:羅爾(Rolle)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理

          (2)洛必達(L’Hospital)法則

          (3)函數增減性的判定法

          (4)函數極值與極值點 最大值與最小值

          (5)曲線的凹凸性、拐點

          (6)曲線的水平漸近線與垂直漸近線

          2. 要求

          (1)了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。

          (2)熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。

          (3)掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法,會利用函數的增減性證明簡單的不等式。

          (4)理解函數極值的概念,掌握求函數的極值和最大(?。┲档姆椒?,并且會解簡單的應用問題。

          (5)會判定曲線的凹凸性,會求曲線的拐點。

          (6)會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

          (7)會作出簡單函數的圖形。

          第四章 不定積分

          1. 考試范圍

          (1)不定積分的概念:原函數與不定積分的定義 原函數存在定理 不定積分的性質

          (2)基本積分公式

          (3)換元積分法:第一換元法(湊微分法) 第二換元法

          (4)分部積分法

          (5)一些簡單有理函數的積分

          2. 要求

          (1)理解原函數與不定積分概念及其關系,掌握不定積分性質,了解原函數存在定理。

          (2)熟練掌握不定積分的基本公式。

          (3)熟練掌握不定積分第一換元法,掌握第二換元法(限于三角代換與簡單的根式代換)。

          (4)熟練掌握不定積分的分部積分法。

          (5)會求簡單有理函數的不定積分。

          第五章 定積分

          1. 考試范圍

          (1)定積分的概念:定積分的定義及其幾何意義 可積條件

          (2)定積分的性質

          (3)定積分的計算

          變上限的定積分 牛頓一萊布尼茨公式 換元積分法 分部積分法

          2. 要求

          (1)理解定積分的概念與幾何意義,了解可積的條件。

          (2)掌握定積分的基本性質。

          (3)理解變上限的定積分是變上限的函數,掌握對變上限定積分求導數的方法。

          (4)掌握牛頓—萊布尼茨公式。

          (5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

          第六章 定積分的應用

          1. 考試范圍

          (1) 定積分的元素法,定積分在幾何學上的簡單應用

          2. 要求

          (1)掌握直角坐標系下用定積分計算簡單平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體體積

          第七章 微分方程

          1. 考試范圍

          (1)微分方程的概念:微分方程的定義、階、解、通解、初始條件、特解

          (2)可分離變量的微分方程,齊次方程,一階線性微分方程,可降階的高階微分方程,高階線性微分方程,常具體齊次線性微分方程,常具體非齊次線性微分方程。

          2. 要求

          (1)理解微分方程的定義,理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

          (2)掌握可分離變量的微分方程,齊次方程,一階線性微分方程,可降階的高階微分方程,高階線性微分方程,常具體齊次線性微分方程,常具體非齊次線性微分方程。

          第八章 空間解析幾何與向量代數

          1. 考試范圍

          (1) 向量及其線性運算。

          (2)數量積,向量積。

          (3)曲面及其方程。

          (4)平面及其方程。

          (5)空間直線及其方程。

          2. 要求

          (1)掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積)。

          (2)掌握空間曲線及其方程。

          (3)掌握平面的方程和直線的方程及其求法。

          第九章 多元函數微分法及其應用

          (一)多元函數的微分學

          1. 考試范圍

          (1)多元函數的概念 二元函數的幾何意義 二元函數的極限與連續的概念(2)多元函數偏導數的概念與幾何意義 全微分的概念

          (3)全微分存在的必要條件和充分條件

          (4)多元復合函數 隱函數的求導方法 二階偏導數

          2. 要求

          (1)理解多元函數的概念;了解二元函數的幾何意義; 了解二元函數的極限的連續的概念。

          (2)理解多元函數偏導數和全微分的概念,知道全微分存在的必要條件和充分條件。(3)掌握偏導數與微分的四則運算法則,掌握復合函數的求導法則法,會求一些函數的二階偏導數。

          (二)多元函數的微分學的應用

          1. 考試范圍

          (1)多元函數極值和條件極值的概念

          (2)多元函數極值的必要條件 二元函數極值的充分條件

          (3)多元函數極值和最值的求法及簡單應用

          2. 要求

          (1)了解多元函數極值和條件極值的概念,知道多元函數極值存在的必要條件。

          (2)了解二元參數極值存在的必要條件和充分條件。

          (3)掌握二元函數極值、最值問題的求法,會解簡單應用問題。

          第十章 重積分

          1.考試范圍

          (1)二重積分的概念和性質

          (2)二重積分的計算和應用

          2.要求

          (1)了解二重積分的概念與性質,了解二重積分的中值定理。

          (2)掌握二重積分的計算方法,會用二重積分求一些簡單幾何量。

          第十一章 曲線積分

          1.考試范圍

          (1)兩類曲線積分的計算。

          (2)格林(Green)公式。

          2. 要求

          (1)理解兩類曲線積分的概念,兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系。

          (2)掌握兩類曲線積分的計算;格林(Green)公式,運用平面曲線積分與路徑無關的條件。

          第十二章 無窮級數

          1.考試范圍

          (1)常數項級數的審斂法。

          (2)冪級數。

          (3)將函數展開成冪級數。

          2.要求

          (1)理解無窮級數收斂、發散以及和的概念,無窮級數的基本性質及收斂的必要條件;正項級數的比較審斂法,交錯級數的萊布尼茲定理

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